七下期末复习系列——综合训练（2）

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【例1】如图，直线AE与CD相交于点B，射线BF平分∠ABC，射线BG在∠ABD内，

（1）若∠DBE的补角是它的余角的3倍，求∠DBE的度数；

（2）在（1）的件下，若∠DBG=∠ABG﹣33°，求∠ABG的度数；

（3）若∠FBG=100°，求∠ABG和∠DBG的度数的差．

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【图文解析】

（本题是基本题，难度不大，但却是常考题，务必熟练掌握.

（1）简析：设∠DBE=α，则∠DBE的补角是180°﹣α，它的余角是90°﹣α，依据∠DBE的补角是它的余角的3倍，即可得到方程：

      180°﹣α=3（90°﹣α），

           解得α=45°，

      ∴∠DBE的度数为45°.

（2）为了计算与书写方便，本题可以通过“设元”，利用“方程”思想进行解决.如下图示：

      设∠ABG=x⁰，∠DBG=y⁰，

      则，得.

∴∠ABG＝84⁰.

（3）类似第(2)题的作法，可设∠ABF=∠CBF=β，依据∠FBG=100°，即可得到∠ABG=100°﹣β，∠DBG=180°﹣100°﹣β=80°﹣β，如下图示：

∴∠ABG﹣∠DBG

 =(100°﹣β)﹣(80°﹣β)=20°，

即∠ABG－∠DBG＝20°．

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      详细解答过程如下：

【解】（1）设∠DBE=α，则∠DBE的补角是180°﹣α，它的余角是90°﹣α，依题意得：

      180°﹣α=3（90°﹣α），

           解得α=45°，

      ∴∠DBE的度数为45°；

（2）设∠ABG=x，∠DBG=y，依题意   则，得.

      ∴∠ABG的度数为84°；

（3）∵射线BF平分∠ABC，

∴可设∠ABF=∠CBF=β，

又∵∠FBG=100°，

∴∠ABG=100°﹣β，

∠DBG=180°﹣100°﹣β=80°﹣β，

∴∠ABG﹣∠DBG

 =(100°﹣β)﹣(80°﹣β)=20°，

      即∠ABG－∠DBG＝20°．

【点评】此题考查了角的计算，角平分线的定义，认真审题并仔细观察图形，找到各个角之间的数量关系列方程是解题的关键．

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【例2】如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：

      第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E₁，

      第二次操作，分别作∠ABE₁和∠DCE₁的平分线，交点为E₂，

      第三次操作，分别作∠ABE₂和∠DCE₂的平分线，交点为E₃，…，

      第n次操作，分别作∠ABE_n﹣1和∠DCE_n﹣1的平分线，交点为E_n．

（1）如图①，求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE；

（2）如图②，求证：∠BE₂C=1/4∠BEC；

（3）猜想：若∠E_n=α度，那∠BEC等于多少度？（直接写出结论）．

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【解析】

（1）简析：先过E作EF∥AB，因AB∥CD，得AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得∠B=∠BEF，∠C=∠CEF，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE.如下图示：

（2）根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E₁，运用（1）中的结论，得出：

∠CE₁B=∠ABE₁+∠DCE₁

      　=1/2∠ABE+1/2∠DCE

    　  =1/2∠BEC；

同理可得:

∠BE₂C=∠ABE₂+∠DCE₂

=1/2∠ABE₁+1/2∠DCE₁

=1/2∠CE₁B=1/4∠BEC；

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（3）根据∠ABE₂和∠DCE₂的平分线，交点为E₃，得出∠BE₃C=∠BEC/8；…据此得到规律∠E_n=∠BEC/2ⁿ，所以当∠E_n=α度时，∠BEC等于2ⁿα度．

具体过程如下：

【解】(1)如图①，过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，

∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF，

∵∠BEC=∠BEF+∠CEF，

∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；

（2）如图，

∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E₁，

∴由（1）可得，

∠CE₁B=∠ABE₁+∠DCE₁

      　=0.5∠ABE+0.5∠DCE

=0.5∠BEC；

∵∠ABE₁和∠DCE₁的平分线交点为E₂，

∴由（1）可得，

∠BE₂C=∠ABE₂+∠DCE₂

=1/2∠ABE₁+1/2∠DCE₁

=1/2∠CE₁B

      　=1/4∠BEC；

（3）如下图，

∵∠ABE₂和∠DCE₂的平分线，

交点为E₃，

∴∠BE₃C=∠ABE₃+∠DCE₃

=1/2∠ABE₂+1/2∠DCE₂

=1/2∠CE₂B

=1/8∠BEC；

…

以此类推，∠E_n=(1/2ⁿ)∠BEC，

　所以当∠E_n=α度时，∠BEC等于2ⁿα度．

【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线的性质，通过构造平行线得到“三线八角”．　

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【拓展】如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：

      第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E₁，

      第二次操作，分别作∠ABE₁和∠DCE₁的平分线，交点为E₂，

      第三次操作，分别作∠ABE₂和∠DCE₂的平分线，交点为E₃，…，

      第n次操作，分别作∠ABE_n﹣1和∠DCE_n﹣1的平分线，交点为E_n．若∠BEC=α度，那∠E_n等于多少度？（直接写出结论）．

答案：∠E_n＝(360⁰－α)/2ⁿ.

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